在公安侦查阶段，如果犯罪嫌疑人或其家属希望申请取保候审，可以按照以下步骤进行，并参考相关案例、法律依据以及信之源律师所可能提供的业务谈判技巧。

一、申请取保候审的步骤

1.提出申请

被羁押的犯罪嫌疑人或其家属、聘请的律师有权向办案机关（公安机关）提出取保候审的申请。这是启动取保候审程序的第一步。

2.办案机关审核

公安机关在接到取保候审的申请后，应在规定时间内（如7天之内）对申请进行审查，并决定是否同意取保候审。审查过程中，公安机关会综合考虑犯罪嫌疑人的社会危险性、案件性质、证据情况等因素。

3.执行取保候审

如果公安机关同意取保候审，将向犯罪嫌疑人宣读《取保候审决定书》，并要求其提出保证人或者交纳保证金。这是取保候审的关键步骤，旨在确保犯罪嫌疑人在取保候审期间不会逃避侦查或妨碍司法程序。

4.遵守规定与法律责任

在取保候审期间，犯罪嫌疑人需要遵守相关规定，如随传随到、不得离开指定的居住地等。如果违反这些规定，将面临相应的法律责任，包括可能被撤销取保候审并重新收押。

二、相关案例

以某涉嫌非法经营罪的案件为例，当事人周某某在侦查阶段被刑事拘留后，其家属委托律师积极与公安机关沟通，从多个方面为当事人争取取保候审。律师通过提交取保候审申请书、与办案人员沟通、强调当事人的认罪态度、初犯偶犯情节等，最终在当事人被检察院批准逮捕后，仍多次与检察官沟通并提交羁押必要性审查申请书，最终成功为当事人争取到取保候审。

三、法律依据

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：

可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；

可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；

患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；

羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。

四、信之源律师所提供的业务谈判技巧

信之源律师所在处理此类案件时，可能会运用以下业务谈判技巧：

1.深入了解案情

通过一对一免费法律咨询，详细了解案情，收集证据，为制定有效的辩护策略打下基础。

2.制定个性化解决方案

根据案件的具体情况和当事人的实际情况，制定个性化的解决方案，力求在合法合规的前提下为当事人争取最大权益。

3.调解谈判化解矛盾

在可能的情况下，通过调解谈判化解矛盾，降低诉讼成本，为当事人争取更加有利的处理结果。例如，与办案机关沟通，强调当事人的悔罪表现、家庭情况、社会贡献等，争取取保候审的机会。

4.运用专业知识争取权益

结合法律规定和司法实践，运用专业知识为当事人争取取保候审或其他合法权益。例如，提交详细的辩护词、证据清单等材料，向办案机关展示当事人的悔罪表现和取保候审的合理性。

综上所述，在公安侦查阶段申请取保候审需要遵循一定的流程和条件，并可以借鉴成功案例和法律依据来增强申请的合理性和说服力。同时，信之源律师所等专业机构提供的业务谈判技巧和法律咨询服务也将为当事人争取最大权益提供有力支持。